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作业第二周 常微分方程（二）和向量代数与空间解析几何（一） 第七单作业元 常微分方程
1、 求微分方程
的通解。
评分规则: 原方程可转化为齐次方程
作换元，令
则
代入上式并整理得，
分离变量得
并积分得
即
故原方程的通解为
2、 求微分方程
的通解。
评分规则: 原方程可转化为
为一阶线性非齐次微分方程，
由常数变易法公式可得原方程通解为
整理得到原方程通解为
3、 若连续函数
满足
求函数
评分规则: 对方程两边求导，可将积分方程转化为微分方程，
满足初始条件
可得通解为
代入初始条件得特解
4、 求微分方程
的通解。
评分规则: 该方程为二阶常系数线性非齐次微分方程，可先求对应齐次方程
的通解
对应的特征方程为
特征值为
所以
再求原非齐次方程的特解
由于
不是特征值，故设特解形式为
将
代入原方程并整理可得
，比较同次幂系数相等，解得
故 
于是，由二阶线性微分方程通解结构可得原方程通解为
5、 求微分方程
的通解。
评分规则: 该方程为不显含
的可降阶方程，可作换元
则
原方程化为
即
当
时，
当
时，解得
即
得
第二周 常微分方程（二）和向量代数与空间解析几何（一） 第七单元测试 常微分方程
1、 设
则
（ ）.
答案: 
2、 设
是微分方程
的一个特解，且
则
在（ ）.
答案: 
处取得极小值
3、 设
可导，且
则
（ ）.
答案: 
4、 微分方程
的通解为（ ）.
答案: 
5、 设连续函数
满足方程
则
的表达式为（ ）.
答案: 
6、 设
是一阶线性非齐次微分方程
的两个线性无关的特解，则该方程的通解为（ ）
答案: 
7、 已知
是微分方程
的解，则
的表达式为（ ）
答案: 
8、 微分方程
的特解形式可设为（ ）.
答案: 
9、 微分方程
的特解形式为（ ）.
答案: 
10、 设有二阶非齐次线性微分方程
函数
是它的三个线性无关的特解，
是任意常数，则该微分方程通解为（ ）.
答案: 
11、 微分方程
的特解形式为（ ）.
答案: 
12、 具有特解
的三阶常系数齐次线性微分方程是（ ）.
答案: 
13、 在下列微分方程中，以
为任意常数）为通解的是（ ）.
答案: 
14、 函数
满足的一个微分方程是（ ）.
答案: 
15、 微分方程
的特解形式为（ ）.
答案: 
16、 微分方程
的特解形式可设为（ ）.
答案: 
17、 微分方程
的特解形式为（ ）.
答案: 
18、 已知
且
则
等于（ ）.
答案: 
19、 若连续函数
满足关系式
则
等于（ ）.
答案:
20、 设连续函数
满足
则
等于（ ）.
答案: 
21、 设
为微分方程
满足初始条件
的解，则
等于（ ）.
答案: 
22、 设连续函数
满足
则
等于（ ）.
答案: 
23、 设
是可微函数，
且
则
（ ）.
答案: 
24、 设
是二阶常系数微分方程
满足初始条件
的特解，则当
时，函数
的极限是_______.
答案: 2
25、 设
的特解形式为
，则
______.
答案: 4
作业第三周 向量代数与空间解析几何（二）和多元函数微分学（一） 第八单元作业 向量代数与空间解析几何
1、 已知两点
和
.（1）求向量
的模；（2）求与向量
平行的单位向量；（3）求向量
的方向角.
评分规则: （1）
，
（2）
（3）
所以
，
，
2、 已知向量
的两个方向余弦为
且
与
轴的方向角为钝角，求
评分规则: 由于
又
为钝角，所以
3、 已知
且
求
评分规则: 由于
所以
得
4、 设
求（1）
及
；（2）
与
夹角的余弦；（3）
.
评分规则: （1）
;
（2）
（3）
5、 求以点
为球心，且与平面
相切的球面方程.
评分规则: 球心到平面
的距离（即球的半径）
故所求球面的方程为：
6、 一平面过原点且平行于向量
和
求此平面方程.
评分规则: 取平面法向量：
又该平面过点
，故所求平面方程为：
7、 已知曲线
求此曲线分别绕
轴、
轴旋转而成的旋转曲面方程.
评分规则: 绕
轴旋转而成的旋转曲面方程：
即
绕
轴旋转而成的旋转曲面方程：
即
8、 一平面过两点
和
且垂直于平面
求它的方程.
评分规则: 设所求平面的法向量为
，
平面
的法向量
，
取
所求平面的方程为
即
9、 求过点
且平行于直线
的直线方程.
评分规则: 取直线的方向向量为
又该直线过点
故所求直线方程为：
10、 一直线
过点
，与直线
相交，且垂直于直线
求直线
的方程.
评分规则: 设所求直线与
的交点为
则
则
解得
所以直线
的方向向量
故直线
的方程为：
即
11、 求两曲面
和
的交线在
面的投影曲线的方程。
评分规则: 联立
消去变量
并化简得交线在
面上的投影柱面：
则交线在
面上的投影曲线：
第三周 向量代数与空间解析几何（二）和多元函数微分学（一） 第八单元测试 向量代数与空间解析几何
1、 设
则以向量
为边的平行四边形的对角线的长度为（ ）
答案: 
2、 平面
与
的夹角余弦为（ ）
答案: 
3、 一向量的终点在点B(2,-1,7)，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4，-4, 7，则该向量的起点A的坐标为（ ）
答案: （-2,3,0）
4、 直线
与平面
的位置关系是（ ）
答案: 
与
斜交
5、 过直线
且垂直于平面
的平面方程是（ ）
答案: 
6、 设有直线
及平面
则直线
（ ）
答案: 垂直于
7、 设有直线
与
则
与
的夹角余弦是（ ）
答案: 
8、 过点（3,0，-1）且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（ ）
答案: 3x-7y+5z-4=0
9、 过点
且与连接坐标原点及点
的线段
垂直的平面方程是（ ）
答案: 2x+9y-6z-121=0
10、 过以下三点(1,1,-1)、(-2,-2,2)、(1,-1,2)的平面方程是（ ）
答案: x-3y-2z=0
11、 平面2x-2y+z+5=0与xOy面的夹角余弦是（ ）
答案: 
12、 一平面过点(1,0,-1)且平行于向量
和
，则该平面方程为（ ）
答案: x+y-3z-4=0
13、 三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=3的交点坐标是（ ）
答案: (1,-1,3)
14、 平行于x 轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程为（ ）
答案: 9y-z-2=0
15、 曲线
是旋转曲面与平面的交线
则经过曲线
，母线平行于
轴的柱面方程是（ ）
答案: 
16、 设向量
则向量
在
轴上的投影为______.
答案: 13
17、 设向量
和
则
____.
答案: 2
18、 设
且
则
_____.
答案: 3
19、 直线
与直线
的夹角余弦为____.
答案: 0
20、 直线
与平面
的夹角余弦为_____.
答案: 1
作业第六周 多元函数微分学（四）和重积分（一） 第九单元作业 多元函数微分学
1、 证明：极限
不存在.
评分规则: 因为
，
所以
不存在。
2、 设函数
二阶可导，
具有二阶连续偏导数，求
评分规则: 
3、 设函数
可微分，求由方程
确定的函数
的全微分
评分规则: 对
两边微分得：
整理即得：
所以
.
4、 求函数
在闭区域
上的最大值和最小值.
评分规则: （1）在D的内部，令
，得到驻点
，
（2）在D的边界上，由
得
代入
得
此时
得到可能最值点
，
比较
的函数值，由连续函数在闭区域上最值存在性定理知，函数
在D上的最大值为
最小值为
5、 求曲线
在点
处的切线与法平面.
评分规则: 点
对应于
所以切线的方向向量为
，也可取为
故切线方程为
或者
法平面方程为
或者
，即
6、 求椭球面
在点
处的切平面方程.
评分规则: 令
则
得切平面的法向量为
则椭球面在点
处的切平面方程为：
即
第六周 多元函数微分学（四）和重积分（一） 第九单元测试 多元函数微分学
1、 极限
（ ） .
答案: 
2、 极限
（ ）.
答案: 不存在
3、 极限
（ ）.
答案: 不存在
4、 设函数
，则在
点关于
叙述正确的是（ ）.
答案: 不连续但偏导存在
5、 设
存在，则下列不正确的是（ ）.
答案: 
在
处连续
6、 设
则
（ ）.
答案: 
7、 设函数
由方程
所确定，则
（ ）.
答案: 
8、 设函数
则
（ ）.
答案: 
9、 设函数
，则在原点
处
（ ）.
答案: 偏导数不连续但可微
10、 二元函数
的两个偏导数
在点
处都连续是
在点处可微分的（ ）.
答案: 充分条件
11、 下列关于
在点
的性质说法正确的是（ ）.
答案: 
在
处连续，则
在点
可微；
12、 已知
且
，则
在点
处（ ）.
答案: 连续，偏导数存在，且可微
13、 设函数
其中函数
可微，则
（ ）.
答案: 
14、 设
与
均为可微函数，且
已知
是
在约束条件
下的一个极值点，如果
，则必有（ ）.
答案: 
15、 已知
且在
面上有点
和向量
，则方向导数
=（ ）.
答案: 
16、 设函数
则
（ ）.
答案: 
17、 下列关于
在点
的性质说法正确的是（ ）.
答案: 偏导数连续，则沿任意方向方向导数存在；
18、 函数
在点
处的梯度等于（ ）.
答案: 
19、 设
在点
某领域内有定义，且
则下列结论正确的是（ ）.
答案: 
在
处的梯度为
20、 函数
在点
处沿任意方向的方向导数中的最大值是（ ）.
答案: 
21、 函数
在闭区域
上的最大值和最小值分别是（ ）.
答案: 
22、 函数
在椭圆域
上的最大值和最小值分别是（ ）.
答案: 
23、 二重极限
存在，则二次极限
或
存在。
答案: 错误
24、 二次极限
或
存在，则二重极限
存在。
答案: 错误
25、 已知函数
，则
都存在。
答案: 错误
26、 设函数
，则点
是极小值点。
答案: 正确
27、 极限
（ ）.
答案: 0
28、 极限
（ ）.
答案: 0
29、 设函数
则偏导数
（ ）.
答案: 1
30、 函数
在点
处沿方向角为
的方向的方向导数为（ ）.
答案: 5
第八周 重积分（三）和曲线积分（一） 第十章单元测试 重积分
1、 若区域
为
则
（ ）.
答案: 
2、 设区域
为
则二重积分
（ ）.
答案: 
3、 设
是由
所确定的闭区域，则三重积分
（ ）.
答案: 
4、 设有空间闭区域
则下列成立的是（ ）.
答案: 
5、 设
为球体
在
上连续，
则
（ ）.
答案: 0
6、 设
则下列成立的是（ ）.
答案: 
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