访郊雇韦谈仓泞七苏曹搓祟念
作业第二周 常微分方程(二)和向量代数与空间解析几何(一) 第七单作业元 常微分方程
1、 求微分方程的通解。
评分规则: 原方程可转化为齐次方程
作换元,令则
代入上式并整理得,
分离变量得并积分得
即
故原方程的通解为
2、 求微分方程的通解。
评分规则: 原方程可转化为为一阶线性非齐次微分方程,
由常数变易法公式可得原方程通解为
整理得到原方程通解为
3、 若连续函数满足
求函数
评分规则: 对方程两边求导,可将积分方程转化为微分方程,满足初始条件
可得通解为代入初始条件得特解
4、 求微分方程的通解。
评分规则: 该方程为二阶常系数线性非齐次微分方程,可先求对应齐次方程的通解
对应的特征方程为特征值为
所以
再求原非齐次方程的特解由于
不是特征值,故设特解形式为
将 代入原方程并整理可得
,比较同次幂系数相等,解得
故
于是,由二阶线性微分方程通解结构可得原方程通解为
5、 求微分方程的通解。
评分规则: 该方程为不显含的可降阶方程,可作换元
则
原方程化为即
当时,
当时,解得
即
得
第二周 常微分方程(二)和向量代数与空间解析几何(一) 第七单元测试 常微分方程
1、 设则
( ).
答案:
2、 设是微分方程
的一个特解,且
则
在( ).
答案: 处取得极小值
3、 设可导,且
则
( ).
答案:
4、 微分方程的通解为( ).
答案:
5、 设连续函数满足方程
则
的表达式为( ).
答案:
6、 设是一阶线性非齐次微分方程
的两个线性无关的特解,则该方程的通解为( )
答案:
7、 已知是微分方程
的解,则
的表达式为( )
答案:
8、 微分方程的特解形式可设为( ).
答案:
9、 微分方程的特解形式为( ).
答案:
10、 设有二阶非齐次线性微分方程函数
是它的三个线性无关的特解,
是任意常数,则该微分方程通解为( ).
答案:
11、 微分方程的特解形式为( ).
答案:
12、 具有特解的三阶常系数齐次线性微分方程是( ).
答案:
13、 在下列微分方程中,以为任意常数)为通解的是( ).
答案:
14、 函数满足的一个微分方程是( ).
答案:
15、 微分方程的特解形式为( ).
答案:
16、 微分方程的特解形式可设为( ).
答案:
17、 微分方程的特解形式为( ).
答案:
18、 已知且
则
等于( ).
答案:
19、 若连续函数满足关系式
则
等于( ).
答案:
20、 设连续函数满足
则
等于( ).
答案:
21、 设为微分方程
满足初始条件
的解,则
等于( ).
答案:
22、 设连续函数满足
则
等于( ).
答案:
23、 设是可微函数,
且
则
( ).
答案:
24、 设是二阶常系数微分方程
满足初始条件
的特解,则当
时,函数
的极限是_______.
答案: 2
25、 设的特解形式为
,则
______.
答案: 4
作业第三周 向量代数与空间解析几何(二)和多元函数微分学(一) 第八单元作业 向量代数与空间解析几何
1、 已知两点和
.(1)求向量
的模;(2)求与向量
平行的单位向量;(3)求向量
的方向角.
评分规则: (1),
(2)
(3)所以
,
,
2、 已知向量的两个方向余弦为
且
与
轴的方向角为钝角,求
评分规则: 由于
又为钝角,所以
3、 已知且
求
评分规则: 由于所以
得
4、 设求(1)
及
;(2)
与
夹角的余弦;(3)
.
评分规则: (1);
(2)
(3)
5、 求以点为球心,且与平面
相切的球面方程.
评分规则: 球心到平面的距离(即球的半径)
故所求球面的方程为:
6、 一平面过原点且平行于向量和
求此平面方程.
评分规则: 取平面法向量:
又该平面过点,故所求平面方程为:
7、 已知曲线求此曲线分别绕
轴、
轴旋转而成的旋转曲面方程.
评分规则: 绕轴旋转而成的旋转曲面方程:
即
绕轴旋转而成的旋转曲面方程:
即
8、 一平面过两点和
且垂直于平面
求它的方程.
评分规则: 设所求平面的法向量为,
平面
的法向量
,
取
所求平面的方程为即
9、 求过点且平行于直线
的直线方程.
评分规则: 取直线的方向向量为
又该直线过点故所求直线方程为:
10、 一直线过点
,与直线
相交,且垂直于直线
求直线
的方程.
评分规则: 设所求直线与的交点为
则
则
解得
所以直线的方向向量
故直线的方程为:
即
11、 求两曲面和
的交线在
面的投影曲线的方程。
评分规则: 联立消去变量
并化简得交线在
面上的投影柱面:
则交线在面上的投影曲线:
第三周 向量代数与空间解析几何(二)和多元函数微分学(一) 第八单元测试 向量代数与空间解析几何
1、 设则以向量
为边的平行四边形的对角线的长度为( )
答案:
2、 平面与
的夹角余弦为( )
答案:
3、 一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4,-4, 7,则该向量的起点A的坐标为( )
答案: (-2,3,0)
4、 直线与平面
的位置关系是( )
答案: 与
斜交
5、 过直线且垂直于平面
的平面方程是( )
答案:
6、 设有直线及平面
则直线
( )
答案: 垂直于
7、 设有直线与
则
与
的夹角余弦是( )
答案:
8、 过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是( )
答案: 3x-7y+5z-4=0
9、 过点且与连接坐标原点及点
的线段
垂直的平面方程是( )
答案: 2x+9y-6z-121=0
10、 过以下三点(1,1,-1)、(-2,-2,2)、(1,-1,2)的平面方程是( )
答案: x-3y-2z=0
11、 平面2x-2y+z+5=0与xOy面的夹角余弦是( )
答案:
12、 一平面过点(1,0,-1)且平行于向量和
,则该平面方程为( )
答案: x+y-3z-4=0
13、 三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=3的交点坐标是( )
答案: (1,-1,3)
14、 平行于x 轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程为( )
答案: 9y-z-2=0
15、 曲线是旋转曲面与平面的交线
则经过曲线
,母线平行于
轴的柱面方程是( )
答案:
16、 设向量则向量
在
轴上的投影为______.
答案: 13
17、 设向量和
则
____.
答案: 2
18、 设且
则
_____.
答案: 3
19、 直线与直线
的夹角余弦为____.
答案: 0
20、 直线与平面
的夹角余弦为_____.
答案: 1
作业第六周 多元函数微分学(四)和重积分(一) 第九单元作业 多元函数微分学
1、 证明:极限不存在.
评分规则: 因为
,
所以不存在。
2、 设函数二阶可导,
具有二阶连续偏导数,求
评分规则:
3、 设函数可微分,求由方程
确定的函数
的全微分
评分规则: 对两边微分得:
整理即得:
所以.
4、 求函数在闭区域
上的最大值和最小值.
评分规则: (1)在D的内部,令,得到驻点
,
(2)在D的边界上,由得
代入
得
此时
得到可能最值点
,
比较的函数值,由连续函数在闭区域上最值存在性定理知,函数
在D上的最大值为
最小值为
5、 求曲线在点
处的切线与法平面.
评分规则: 点对应于
所以切线的方向向量为
,也可取为
故切线方程为或者
法平面方程为或者
,即
6、 求椭球面在点
处的切平面方程.
评分规则: 令则
得切平面的法向量为
则椭球面在点处的切平面方程为:
即
第六周 多元函数微分学(四)和重积分(一) 第九单元测试 多元函数微分学
1、 极限( ) .
答案:
2、 极限( ).
答案: 不存在
3、 极限( ).
答案: 不存在
4、 设函数,则在
点关于
叙述正确的是( ).
答案: 不连续但偏导存在
5、 设存在,则下列不正确的是( ).
答案: 在
处连续
6、 设则
( ).
答案:
7、 设函数由方程
所确定,则
( ).
答案:
8、 设函数则
( ).
答案:
9、 设函数,则在原点
处
( ).
答案: 偏导数不连续但可微
10、 二元函数的两个偏导数
在点
处都连续是
在点
处可微分的( ).
答案: 充分条件
11、 下列关于在点
的性质说法正确的是( ).
答案: 在
处连续,则
在点
可微;
12、 已知且
,则
在点
处( ).
答案: 连续,偏导数存在,且可微
13、 设函数其中函数
可微,则
( ).
答案:
14、 设与
均为可微函数,且
已知
是
在约束条件
下的一个极值点,如果
,则必有( ).
答案:
15、 已知且在
面上有点
和向量
,则方向导数
=( ).
答案:
16、 设函数则
( ).
答案:
17、 下列关于在点
的性质说法正确的是( ).
答案: 偏导数连续,则沿任意方向方向导数存在;
18、 函数在点
处的梯度等于( ).
答案:
19、 设在点
某领域内有定义,且
则下列结论正确的是( ).
答案: 在
处的梯度为
20、 函数在点
处沿任意方向的方向导数中的最大值是( ).
答案:
21、 函数在闭区域
上的最大值和最小值分别是( ).
答案:
22、 函数在椭圆域
上的最大值和最小值分别是( ).
答案:
23、 二重极限存在,则二次极限
或
存在。
答案: 错误
24、 二次极限或
存在,则二重极限
存在。
答案: 错误
25、 已知函数,则
都存在。
答案: 错误
26、 设函数,则点
是极小值点。
答案: 正确
27、 极限( ).
答案: 0
28、 极限( ).
答案: 0
29、 设函数则偏导数
( ).
答案: 1
30、 函数在点
处沿方向角为
的方向的方向导数为( ).
答案: 5
第八周 重积分(三)和曲线积分(一) 第十章单元测试 重积分
1、 若区域为
则
( ).
答案:
2、 设区域为
则二重积分
( ).
答案:
3、 设是由
所确定的闭区域,则三重积分
( ).
答案:
4、 设有空间闭区域则下列成立的是( ).
答案:
5、 设为球体
在
上连续,
则
( ).
答案: 0
6、 设则下列成立的是( ).
答案:
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