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第1讲 随机事件与概率 单元测验1
1、 小王参加“智力大冲浪”游戏，他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2，两类问题都能答出的概率为0.1。则小王： 1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率； 2) 至少有一类问题能答出的概率； 3) 两类问题都答不出的概率。三个概率分别为（ ）。
答案: 0.6，0.8，0.2
2、 设 
为两个随机事件，且 
，则 
（ ）。
答案: 
3、 设两个相互独立的随机事件 ，它们都不发生的概率为 
，
发生 B 不发生的概率与 B 发生 不发生的概率相等，则 
（ ）。
答案: 
4、 掷两颗骰子，如果掷出的两颗骰子出现的点数不一样，至少有一颗骰子出现6点的概率为（ ）。
答案: 
5、 假设计算机学院二年级有 
个人，则至少有两人生日相同的概率为 
。
答案: 正确
6、 如图所示，CD系统中各元件正常工作的概率均为p，且各元件是否正常工作相互独立。 
则CD系统正常工作的概率是
。
答案: 正确
7、 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的。如果甲船的停泊时间是1小时，乙船的停泊时间是2小时，求任何一艘船到达时，需要等待码头空出的概率为___。(保留四位小数)
答案: [0.12,0.121]
8、 玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。若顾客买下了的该箱，则其没有残次品的概率为___。(保留四位小数)
答案: [0.845,0.849]
9、 对以往数据分析结果表明，当机器运转正常时，产品的合格率为90%，而当机器发生故障时，其合格率为30%，机器开动时，机器运转正常的概率为75%，试求已知某日首件产品是合格品时，机器运转正常的概率___。(保留四位小数)
答案: [0.8999,0.9001]
10、 加工某种零件共需要三道工序。已知第一、二、三道工序的次品率分别为0.1，0.2，0.3，假定各道工序互不影响，则加工出来的零件是次品的概率是___。(保留四位小数)
答案: [0.4959,0.4961]
11、 甲袋中有 4 只红球, 有 6 只白球, 乙袋中有 6 只红球, 10 只白球, 现从两袋中各任取 1 球, 则 2 个球颜色相同的概率是（ ）。
答案: 
12、 设
满足 
， 则（ ）。
答案: 
13、 设事件
互不相容, 已知
, 则
___。
答案: (以下答案任选其一都对)0.1;
0.1000
14、 已知
, 若
独立, 则
___。
答案: (以下答案任选其一都对)0.4;
0.4000
15、 甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为 0.3 和 0.4， 则飞机至少被击中一炮的概率为__。
答案: (以下答案任选其一都对)0.58;
0.5800
16、 仓库中有 10 箱同种规格的产品, 其中 2 箱、 3 箱、5箱分别由甲、乙、丙三个厂生产，三个厂的正品率分别为 0.7,0.8,0.9，现在从这 10 箱产品中任取一箱，再从中任取一件。如果取出的是正品，则此件产品由乙厂生产的概率___。(保留四位小数)
答案: 0.2892
作业第1讲 随机事件与概率 单元作业1
1、 用集合描述下列随机试验的样本空间： a. 假如某同学准备投篮 20 次，观察他投中的次数； b. 将同学们每天早餐的消费金额作为研究对象，假设最大消费金额为100元； c. 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止。
评分规则: a.
;b.
c.
2、 设 
为三个随机事件，利用事件的关系与运算法则，化简下列下列事件： a.
; b. 
。
评分规则: 解：a.由集合性质知， 
b.
3、 设袋中有10个球，6黄4白，无放回任取3球，求事件“取到2个黄球1个白球”的概率。
评分规则: 令
“取到2个黄球1个白球”，该事件没有考虑次序，可以排列数或组合数得到样本空间和有利场合数。法1（组合数）： 
法2（排列数）： 
4、 在区间 
上任取一点，求该点处于方程 
的两根之间的概率。
评分规则: 解：由几何概型， 的两个根是1与3，则 
5、 假如某口袋中装有大小相同的黑、白球各1个。从中任取1个，若取出白球，则摸球停止，若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，在加入一个黑球，如此下去，直到取出白球为止。求第5次才取到白球的概率。
评分规则: 解：设 
表示“第i次取到黑球”， 
6、 使用一种血液试验来检测人体内是否携带某种病毒。假设携带病毒者被检测出血液呈阳性的概率为
，非携带病毒者被检测出血液呈阳性的概率为 
。据统计，人群中携带病毒者约占千分之一，求某人的血液检验结果呈阳性的概率。
评分规则: 解： 表示“病人携带病毒”，
表示“血液试验呈阳性” 
则由全概率公式 
7、 某人下午5:00下班，他所积累的资料表明：
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。
评分规则: 解：设 “乘地铁”，
“乘汽车”，
“5:45 
5:49到家”，由题意 
。 已知，
，由贝叶斯公式有 
8、 如下图所示，CD 系统中各元件正常工作的概率均为 
，且各元件是否正常工作相互独立。 
求 CD 系统正常工作的概率。
评分规则: 解：这要利用各元件的独立性。首先考虑 
与 
的并联，应该是和事件，概率应该是 
，再考虑 
的串并联，其概率应该等于 
，因此，综合答案 
。
9、 抛掷一颗骰子，问需要投掷多少次。才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于0.5?
评分规则: 解：假设共投掷 
次，设 表示“第 
次投掷时出现点数6”，
，显然 
。由于 
即 
，解出 
，即
。
10、 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为 0.4,0.5,0.7，飞机被一人击中而击落的概率为 0.2，被两人击中而击落的概率为 0.6，若三人都击中飞机必定被击落，求飞机被击落的概率。
评分规则: 解：设 表示有个 人击中敌机， 分别表示甲、乙、丙击中敌机，
表示敌机被击落。则有 
， 
又 
，且 独立， 
同理 
。综上，由全概率公式 
第1讲 随机事件与概率 单元测验1（新）
1、 小王参加“智力大冲浪”游戏，他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2，两类问题都能答出的概率为0.1。则小王： 1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率； 2) 至少有一类问题能答出的概率； 3) 两类问题都答不出的概率。三个概率分别为（ ）。
答案: 0.6，0.8，0.2
2、 设 为两个随机事件，且 ，则 （ ）。
答案:
3、 设两个相互独立的随机事件 ，它们都不发生的概率为 ， 发生 B 不发生的概率与 B 发生 不发生的概率相等，则 （ ）。
答案:
4、 掷两颗骰子，如果掷出的两颗骰子出现的点数不一样，至少有一颗骰子出现6点的概率为（ ）。
答案:
5、 假设计算机学院二年级有 个人，则至少有两人生日相同的概率为 。
答案: 正确
6、 如图所示，CD系统中各元件正常工作的概率均为p，且各元件是否正常工作相互独立。 则CD系统正常工作的概率是。
答案: 正确
7、 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的。如果甲船的停泊时间是1小时，乙船的停泊时间是2小时，求任何一艘船到达时，需要等待码头空出的概率为___。
答案: [0.12,0.121]
8、 玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。若顾客买下了的该箱，则其没有残次品的概率为___。
答案: [0.845,0.849]
9、 对以往数据分析结果表明，当机器运转正常时，产品的合格率为90%，而当机器发生故障时，其合格率为30%，机器开动时，机器运转正常的概率为75%，试求已知某日首件产品是合格品时，机器运转正常的概率
___。
答案: 0.9
10、 加工某种零件共需要三道工序。已知第一、二、三道工序的次品率分别为1%，2%，3%，假定各道工序互不影响，则加工出来的零件是次品的概率是___。
答案: 0.496
作业第2讲 一维随机变量及其分布 单元作业2
1、 某商店从早上开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间 
(分钟)的分布函数是 
求等待时间“至多 3 分钟”与“3 分钟至 5分钟之间”的概率。
评分规则: 
2、 某加油站每周补给一次油，如果这个加油站每周的销售量（单位：千升）为随机变量 ，它的分布函数为 
问该油站的储油罐需要多大，才能把一周内断油的概率控制在5%以下？
评分规则: 设 x 为储油罐的最大储油量，则 X 应该满足 
即 
解出 
，取整数 
。
3、 设有3门同型号的火炮对某目标射击，每门火炮命中目标的概率为0.4。火炮命中1发时目标被击毁的概率为0.2，火炮命中2发时目标被击毁的概率为0.6，3发均命中时目标被击毁的概率为0.9。求： 1）3门火炮在一次射击中击毁目标的概率； 2）目标被击毁时且有两发命中目标的概率。
评分规则: 解：设 X 为命中目标的火炮数，Y=1表示”目标被击毁”, Y=0 表示”目标被击毁”。则有 
， 
1）3门火炮在一次射击中击毁目标的概率 
2）目标被击毁时且有两发命中目标的概率 
4、 射手独立射击200次，每次的命中率为0.01，求命中次数不少于 2 次的概率（用泊松定理近似）。
评分规则: 泊松分布参数 
，所以
5、 设 
在 
内服从均匀分布，求方程 
有实根的概率。
评分规则: 方程有实根即要求 
，概率计算为
6、 设一工厂生产的电子元件的寿命 
，若要求 
，允许 
最大为多少？
评分规则: 由 
，有 
，查表得 
，从而 
。
7、 某地区 18 岁女青年的血压 （收缩压，以mm-Hg计）服从正态分布 
，试求该地区 18 岁女青年的血压在 100 至 120 之间的可能性有多大？
评分规则: 
8、 已知 服从正态分布 
，试分别求取 
，
的密度函数。
评分规则: 
9、 已知连续型随机变量 的密度为 
，
，求 
的密度函数 
分布。
评分规则: 
10、 在高为 
的
中任取一点 
，点 到底边 
的距离为随机变量 ，求 的概率密度函数 
。 
评分规则: 
第2讲 一维随机变量及其分布 单元测验2
1、 设 
，求随机变量 的分布函数 
，则概率 
（ ）。
答案: 0.91
2、 设连续型随机变量的分布函数为 
则概率 
（ ）。
答案: 0.25
3、 航空公司了解到，一般预订航班有5%的人不能按时搭乘航班。因此，他们采取的措施是对于一个能容纳50个旅客的航班可以售出52张票。问每位旅客都能有座位的概率是（ ）。
答案: 
4、 设每年袭击某地的台风次数 
，且 
，则概率 
（ ）。
答案: 
5、 有一繁忙的汽车站，有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001，在某天的该段时间内有1000辆汽车通过，出事故的次数不少于2的概率为 （ ）？
答案: 
6、 设随机变量 在区间 
上服从均匀分布，对进行三次独立的观测中，则刚好有两次的观测值大于3的概率（ ）。
答案: 
7、 设随机变量 
)，记 
，则的密度函数 为（ ）。
答案: 
8、 某种产品上的缺陷数 服从分布律 
，则该缺陷数不超过3的概率为____。(保留四位小数)
答案: (以下答案任选其一都对)0.875;
0.8750
9、 某仪器安装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布
，则此仪器在最初使用的200小时内至少有一个电子元件损坏的概率为____。(保留四位小数)
答案: [0.632,0.633]
10、 设随机变量 
)，则概率 
_______。(保留四位小数)
答案: [0.045,0.055]
11、 设随机变量 
分布, 则关于 
的方程 
有实根的概率为（ ）。
答案: 
12、 设随机变量
的概率密度为 
若 
, 则 
的概率密度 
答案: 正确
13、 若随机变量 
有概率密度 
则有分布函数值 
。
答案: 正确
14、 设随机变量
的分布律如下: 
则
___。
答案: (以下答案任选其一都对)0.6;
0.6000
15、 随机变量
的分布函数 
且 
，则 
___。
答案: (以下答案任选其一都对)0.6;
0.6000
16、 设
，且
，则
___。
答案: 0.6826
作业第3讲 多维随机变量及其分布 单元作业3
1、 设二维随机变量 (X,Y) 具有密度函数，
求 (X,Y) 到原点 (0,0) 的距离不超过 
的概率。
评分规则: 显然， (X,Y) 是单位圆上的二维均匀分布， 
2、 已知 (X,Y) 的联合分布律为
试求 (X,Y) 的联合分布函数
。
评分规则: 
3、 设
，且 X 与 Y 分布律分别为
试求 (X,Y) 的联合分布律。
评分规则: (X,Y) 的联合分布律为
4、 设 (X,Y) 是单位圆内的均匀分布，即
求 X 关于 Y 的条件密度和 Y 关于 X 的条件密度。
评分规则: 
5、 将一根均匀的长度为 1 的棒随机折成二段，求较长段长度的密度函数。
评分规则: 
6、 如果 X,Y 独立且分别服从参数为 
指数分布，求 
的密度。
评分规则: 服从参数为 
的指数分布。
7、 如果 
且相互独立，求 
的密度函数 
？
评分规则: 密度函数 为
8、 设二维随机变量 (X,Y) 的概率密度为
求 
的密度函数 
。
评分规则: 
9、 如果 X,Y 独立且分别服从参数为 指数分布，求 
的密度。
评分规则: 
10、 设二维随机变量 (X,Y) 在 
上服从均匀分布，求随机变量 
的密度函数。
评分规则: 密度函数为
第3讲 多维随机变量及其分布 单元测验3
1、 袋中有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，令 
分别表示取到黑球、红球个数，则 
等于（ ）。
答案: 9/35
2、 设随机变量 服从参数为 
的指数分布，定义随机变量如下：
则 
等于（ ）。
答案: 
3、 设二维随机变量 
具有密度函数， 
则常数 
等于（ ）。
答案: 
4、 设相互独立的两个随机变量 具有同一分布律，且 的分布律为
随机变量 
，则 
等于（ ）。
答案: 
5、 设 X 和 Y 是两个随机变量，且
则 
等于（ ）。
答案: 
6、 设平面区域 D 由直线 
及直线 
所围成，二维随机变量 在区域 D 上服从均匀分布，则 的边缘概率密度在 
处的值为（ ）。
答案:
7、 设相互独立的两个随机变量 各自的分布律分别为
则 
等于（ ）。
答案:
8、 设二维随机变量 具有密度函数，
则 的边缘密度为（ ）。
答案: 
9、 设二维随机变量 具有密度函数，
则 的边缘密度为（ ）。
答案: 
10、 设某批产品中一等品占70%，二等品占30%，有放回抽4件，令 分别表示取出的4件产品中一、二等品的件数，则 
___ 。(保留四位小数)
答案: [0.411,0.412]
11、 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 
，则 
______。(保留四位小数)
答案: [0.4770,0.4774]
12、 设随机变量
独立同分布，且 
，
)，行列式
，则 
___。(保留四位小数)
答案: [0.134,0.135]
13、 设 
为 两个 随 机 事 件, 
, 令 随 机 变 量
则 
___。
答案: (以下答案任选其一都对)0.5;
0.5000
14、 设 
和 
相互独立，
在 
上服从均匀分布，且 
则关于 
的二次方程 
有实根的概率___。(保留四位小数)
答案: 0.2131
15、 已知二维离散型随机变量
的联合分布律如下 
记 
，求 
___。
答案: (以下答案任选其一都对)0;
0.0000
作业第4讲 随机变量的数字特征 单元作业4
1、 设射手每次击中目标的概率为0.3，今射手向目标射击了40次，若 X 表示射手击中目标的次数，求 
。
评分规则: 射中击中目标的次数 X 服从 
， 则有 
2、 设一台设备两个部件构成，在设备运转中各部件需调整的概率分别为,0.2,0.3。假设两部件的运转状态相互独立，以 X 表示需要调整的部件数。试求 X 的数学期望和方差。
评分规则: 由题意 
3、 一公司对其产品的市场需求增长满怀希望。目前，员工以每周40h满负荷地工作着，为满足预期的市场新需求，业务主管领导在考虑是否要采用员工超时工作的应急措施或添置、更新设备的办法来增加产量(或提高产品质量)。市场部的专家们预测对产品需求增加15％的可能性是60％，但同时指出，经济也可能恶化，有实际需求下降5％的可能性，其概率是40％。已知的有关的数据列于下表。
请问在此不确定的情况下，从三种可以采取的行动中选定一个行动方案，应做出何种决策？
评分规则: 这是一个在对自然状态的信息不确知（对产品需求可能会减少5％，也可能会增加15％），但又知其概率分布(概率分别为0.4和0.6)的情况下要作出决策的问题，常称这类问题为风险型决策。对于风险型决策问题，不论采用怎样的决策都带一定的风险。如对本题而言，若采用第一种决策，即既不增加工时也不增添设备，一旦出现市场需求增加的情况时就失去了更多获利的可能。期望值判据是一种常用的处理风险型决策的判据，即比较各种行动所产生之效益期望值的大小以作出决策。对于本例给出的数据，期望收益为：
4、 一年中一个家庭万元被盗的概率是0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险。参加者需缴保险费100元，若在一年内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿 a 元。试问 a 如何确定,才能使保险公司期望获利？
评分规则: 由题意
解得 a<1000，所以 a 不能超过1000元。
5、 一辆飞机场的交通车，送25名乘客到9个车站，假设每一位乘客都等可能地在任一站下车，并且他们下车与否相互独立，又知交通车只在有人下车时才停车。求交通车停车次数的数学期望。
评分规则: 由于每一位乘客都等可能地在任一站下车，所以第 ( i ) 站有乘客下车的概率为
从而 
。从而 
6、 设有 n把看上去样子相同的钥匙，其中只有1把能打开门上的锁。随机地用它们逐一地去试开，记X 为到打开锁时的试开次数，求 
。
评分规则: 由于问题等同于抓阄问题，则第i把钥匙能开门的概率相同，均为 
，所以 
从而 
。从而
7、 设 
为相互独立同分布于 
的随机变量，试求 
的期望与方差。
评分规则: 由期望的线性性质知 
由相互独立，由独立和方差公式 
8、 设 为相互独立同分布于 的随机变量，设 
，求 
。
评分规则: 由题知 
，且相互独立，所以由方差公式有
又由独立和方差公式 
所以
9、 设 
且 相互独立。试求 
和 
的相关系数（其中 是不为零的常数）。
评分规则: 由协方差的运算性质
10、 设随机变量 
，
。又知满足 ，求 
。
评分规则: 由题意，
，从而可写出联合分布律。
由于 
，所以
从而
第4讲 随机变量的数字特征 单元测验4
1、 已知随机变量 
，
，且 X 与 Y 相互独立，设随机变量 
， 则 
等于（ ）。
答案: 2
2、 设一次试验中`成功’（表示事件 A）的概率为 p，进行100次重复试验，当 p 等于（ ）时，使得成功次数 X 的标准差达到最大。
答案: 0.5
3、 某保险公司多年的统计资料表明，每一年索赔户中被盗索赔户占10%。设 X 表示今年的50个索赔户中的被盗索赔户户数，则 
等于（ ）。
答案: 
4、 设 X 与 Y 相互独立，且 
，则 
等于（ ）。
答案: 0
5、 设 独立同分布，且 
，则 
等于（ ）。
答案: 0.64
6、 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 与 Y 的相关系数等于（ ）。
答案: -1
7、 气体分子的速度服从Maxwell分布，其概率密度为
则气体分子速度的数学期望为（ ）。
答案: 
8、 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间 
内，则球体体积的期望为（ ）。
答案: 
9、 设随机变量 X 服从参数为 
的泊松分布，且已知 
，则 等于（ ）。
答案: 1
10、 设 
，则 
______。(保留四位小数)
答案: 3.2
11、 设 
且 
，则 
__。(保留四位小数)
答案: 19.92
12、 设 ，则 ______。
答案: (以下答案任选其一都对)3.2;
3.2000
13、 设 且 ，则 __。
答案: (以下答案任选其一都对)19.92;
19.9200
14、 记 
，则 
___。
答案: (以下答案任选其一都对)22;
22.0000
15、 随机变量
的概率密度为
则 
___。
答案: (以下答案任选其一都对)0.6;
0.6000
16、 设
为随机变量，
，则
___。
答案: (以下答案任选其一都对)0.4;
0.4000
作业第5讲 极限定理 单元作业5
1、 设 
为独立随机变量序列，且 
. 试问 是否服从大数定律？
评分规则: 因为
则
所以大数定律成立。
2、 设随机变量序列 独立同分布，其密度函数为 
令 
，则 
成立吗？
评分规则: 对任意的 
，有
所以 。
3、 如果 
服从参数为2的指数分布，则当 
时，
依概率收敛于 
吗？
评分规则: 当 时，利用切比雪夫不等式，
所以，大数定律的结论成立。
4、 设 
独立同服从于均匀分布 
，
依概率收敛于多少？
评分规则: 因为 
，
，
，所以，由大数定律知，依概率收敛于0。
5、 某宿舍有学生500人，每人在傍晚大约有10%的时间要占用一个水龙头，设各人用水龙头是相互独立的。问该宿舍需装多少个水龙头，才能以95%以上的概率保证用水需要？
评分规则: 设 X 是同时需用水龙头数，它服从二项分布 
。这里 
由中心极限定理，需装61个水龙头。
6、 某台仪器同时收到50个噪声信号 
，
。设它们是相互独立的随机变量，且都服从均匀分布 
，记 
，求概率 
。
评分规则: 因为 
，
。
7、 假设某生产线上组装每件成品的时间服从指数分布，统计资料表明该生产线每件成品的组装时间平均为10分钟，各件产品的组装时间相互独立。 1).试求组装100件成品需要15小时至20小时的概率； 2).以95%的概率在16小时之内最多可以组装多少件成品？
评分规则: （1）
（2）确定 ( n )，使得 
解出 
。
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