皑始戎窟枫蕊愤许甭烘涸冀酥
第一周距离空间的基本概念
单元测验一
1、单选题：
如果一个非空集合上可定义一个距离，则以下说法正确的是（ ）.
A: 距离是唯一的
B: 可以定义有限个距离
C: 可以无限多个距离
D: 其它三项都不对
答案: 可以无限多个距离
2、单选题：
在一个非空集合上( ) 可以定义距离.
A: 一定
B: 不一定
C: 与集合的性质有关
D: 其它三项都不对
答案: 一定
3、单选题：
N维欧氏空间中点列的按距离收敛等价于（ ）.
A: 逐点收敛
B: 几乎处处收敛
C: 按坐标收敛
D: 一致收敛
答案: 按坐标收敛
4、单选题：
连续函数空间中点列的按距离收敛等价于函数列的（ ）.
A: 按坐标收敛
B: 一致收敛
C: 逐点收敛
D: 几乎处处收敛
答案: 一致收敛
5、单选题：
有界数列空间中点列的按距离收敛是（ ）.
A: 按坐标收敛
B: 一致收敛
C: 逐点收敛
D: 其余三项都不对
答案: 其余三项都不对
6、单选题：
离散距离空间中点列的按距离收敛是（ ）.
A: 按坐标收敛
B: 一致收敛
C: 逐点收敛
D: 其余三项都不对
答案: 其余三项都不对
7、多选题：
一个非空集合上的距离满足（ ）.
A: 非负性
B: 对称性
C: 正齐次性
D: 三角不等式
答案: 非负性;
对称性;
三角不等式
8、多选题：
关于距离空间中点列的收敛性，以下说法正确的是（ ）.
A: 收敛列的极限是唯一的
B: 收敛列的极限一定属于该距离空间
C: 有界列一定是收敛列
D: 收敛列的子列一定收敛
答案: 收敛列的极限是唯一的;
收敛列的极限一定属于该距离空间;
收敛列的子列一定收敛
9、多选题：
距离空间中的收敛点列满足（ ）.
A: 其极限未必唯一
B: 其极限是唯一的
C: 其任一子列必收敛
D: 存在不收敛的子列
答案: 其极限是唯一的;
其任一子列必收敛
10、判断题：
设R是实数集，定义 d(x,y)=1+|x-y|,则d是R上的距离.
A: 正确
B: 错误
答案: 错误
11、判断题：
任一非空集合上都可以定义距离，使之成为距离空间.
A: 正确
B: 错误
答案: 正确
12、判断题：
设C[0,1]是[0,1]上的连续函数全体，定义
则d是C[0,1]上的一个距离.
A: 正确
B: 错误
答案: 正确
第二周距离拓扑与可分性
单元测验二
1、单选题：
开集恰好由该集合的所有（ ）构成.
A: 外点
B: 内点
C: 聚点
D: 接触点
答案: 内点
2、单选题：
闭集恰好由该集合的所有（ ）构成.
A: 内点
B: 外点
C: 接触点
D: 聚点
答案: 接触点
3、单选题：
设 E 和 F 是距离空间中的点集，则以下关于“E在F中稠密”的表述，正确的是（ ）.
A: 
B: 
C: 
D: 
答案:
4、单选题：
全体有理数在（ ）中是稠密的.
A: 实数空间
B: 连续函数空间
C: 有界数列空间
D: 离散的距离空间
答案: 实数空间
5、单选题：
以下选项中，不可分的距离空间为（ ）.
A: 实数空间
B: 连续函数空间
C: 离散的距离空间
D: 有界数列空间
答案: 有界数列空间
6、多选题：
距离空间中的非空开集一定包含一个（ ）.
A: 内点
B: 接触点
C: 开球
D: 闭球
答案: 内点;
接触点;
开球;
闭球
7、多选题：
以下说法正确的是（ ）.
A: 开球是开集
B: 开集是开球
C: 开球的补集是闭集
D: 开球的补集是闭球
答案: 开球是开集;
开球的补集是闭集
8、多选题：
在距离空间中，以下说法正确的是（ ）.
A: 开球的闭包是闭球
B: 开球的闭包是闭集
C: 开球的内部是开集
D: 开球的补集是闭集
答案: 开球的闭包是闭集;
开球的内部是开集;
开球的补集是闭集
9、多选题：
关于内点与接触点，以下说法正确的是（ ）.
A: 接触点一定是内点
B: 内点一定是接触点
C: 接触点可能是内点
D: 内点未必是接触点
答案: 内点一定是接触点;
接触点可能是内点
10、多选题：
在距离空间中，以下说法正确的是（ ）.
A: 任意多个开集的交集是开集
B: 任意多个开集的并集是开集
C: 任意多个闭集的交集是闭集
D: 任意多个闭集的并集是闭集
答案: 任意多个开集的并集是开集;
任意多个闭集的交集是闭集
11、多选题：
在实数空间 R 中，令 Q 为有理数全体. 以下选项中，与 “Q 在 R 中稠密” 等价的是（ ）.
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: ;
12、多选题：
设 E 和 F 是距离空间中的点集，则以下关于“E在F中稠密”的表述，正确的是（ ）.
A: 
B: 
C: 
D: 
E: 
F: 
答案: ;
13、多选题：
设 E 与 F 是距离空间中的点集. 以下命题中，相互等价的是（ ）.
A: E 在 F 中稠密
B: F 中每个点都是E的接触点
C: E 与 F 的交集可能是空集
D: F 中每个点都是 E 中某点列的极限
答案: E 在 F 中稠密;
F 中每个点都是E的接触点;
F 中每个点都是 E 中某点列的极限
14、多选题：
以下选项中，一定具有可分性的距离空间是（ ）.
A: 实数空间
B: 有理数空间
C: 连续函数空间
D: 离散的距离空间
答案: 实数空间;
有理数空间;
连续函数空间
15、多选题：
在可分的距离空间中，必包含（ ）.
A: 可数子集
B: 不可数子集
C: 稠密子集
D: 有限子集
答案: 可数子集;
稠密子集;
有限子集
16、多选题：
设T是从距离空间X到距离空间Y的映射，则以下命题中与“T是连续映射”等价的是（ ）.
A: X中任何开集的像是Y中的开集
B: Y中任何开集的原像是X中的开集
C: X中任何闭集的像是Y中的闭集
D: Y中任何闭集的原像是X中的闭集
答案: Y中任何开集的原像是X中的开集;
Y中任何闭集的原像是X中的闭集
17、判断题：
距离空间中的任一子集，其闭包未必是闭集.
A: 正确
B: 错误
答案: 错误
18、判断题：
距离空间中的任一子集，其内部一定是开集.
A: 正确
B: 错误
答案: 正确
19、判断题：
任意多个闭集的并集是闭集.
A: 正确
B: 错误
答案: 错误
20、判断题：
任意有限个开集的交集是开集.
A: 正确
B: 错误
答案: 正确
21、判断题：
离散距离空间上的任一子集既是开集又是闭集.
A: 正确
B: 错误
答案: 正确
22、判断题：
非空开集一定是开球.
A: 正确
B: 错误
答案: 错误
23、判断题：
在实数空间中，全体有理数在全体无理数中稠密.
A: 正确
B: 错误
答案: 正确
24、判断题：
有界数列空间是可分的距离空间.
A: 正确
B: 错误
答案: 错误
25、判断题：
[0,1]上的全体有理系数多项式在连续函数空间C[0,1]中是稠密的.
A: 正确
B: 错误
答案: 正确
26、判断题：
在不可数集X上定义离散距离d，则距离空间（X,d）是不可分的.
A: 正确
B: 错误
答案: 正确
27、判断题：
定义在离散距离空间上的任何映射都是连续的.
A: 正确
B: 错误
答案: 正确
28、判断题：
有界数列空间的任何子空间都是不可分的.
A: 正确
B: 错误
答案: 错误
第三周完备的距离空间
单元测验三
1、单选题：
以下关于距离空间中 ”柯西列与收敛列“ 的表述，正确的是（ ）.
A: 柯西列一定是收敛列
B: 有界列一定是柯西列
C: 收敛列一定是柯西列
D: 其他三项都不对
答案: 收敛列一定是柯西列
2、单选题：
以下实数空间的距离子空间中，具有完备性的是（ ）.
A: 
B: 
C: 
D: 
答案:
3、单选题：
设距离空间X是距离空间E的完备化空间，在等距同构的意义下，以下说法正确的是（ ）.
A: E是X的开子空间
B: E是X的闭子空间
C: E是X的稠子空间
D: E是X的真子空间
答案: E是X的稠子空间
4、单选题：
在距离空间中，压缩映射一定是（ ）.
A: 单射
B: 满射
C: 等距映射
D: 连续映射
答案: 连续映射
5、多选题：
在完备的距离空间中，以下说法正确的是（ ）.
A: 收敛列必为柯西列
B: 柯西列必为收敛列
C: 闭子集一定是完备的子空间
D: 开子集一定不是完备的子空间
答案: 收敛列必为柯西列;
柯西列必为收敛列;
闭子集一定是完备的子空间;
开子集一定不是完备的子空间
6、多选题：
在连续函数空间中，以下说法正确的是（ ）.
A: 柯西列未必是收敛列
B: 收敛列未必是柯西列
C: 柯西列一定是收敛列
D: 收敛列一定是柯西列
答案: 柯西列一定是收敛列;
收敛列一定是柯西列
7、多选题：
在以下选项中，具有完备性的距离空间是（ ）.
A: 实数空间
B: N维欧氏空间
C: 连续函数空间
D: 有界数列空间
E: 离散的距离空间
答案: 实数空间;
N维欧氏空间;
连续函数空间;
有界数列空间;
离散的距离空间
8、多选题：
以下实数空间的子空间中，不完备的是（ ）.
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: ;;
9、多选题：
在距离空间中，等距映射一定是（ ）.
A: 单射
B: 满射
C: 双射
D: 连续映射
答案: 单射;
连续映射
10、多选题：
设X是距离空间，T是X到X的映射. 压缩映射定理成立的条件是（ ）.
A: X是完备的
B: X是可分的
C: T是压缩映射
D: T是连续映射
答案: X是完备的;
T是压缩映射
11、判断题：
完备的距离空间一定是可分的.
A: 正确
B: 错误
答案: 错误
12、判断题：
在全体有理数 Q 上定义离散距离d，则（Q,d）是不完备的距离空间.
A: 正确
B: 错误
答案: 错误
13、判断题：
在等距同构的意义下，任何距离空间都存在唯一的完备化空间.
A: 正确
B: 错误
答案: 正确
14、判断题：
在距离空间中，闭子空间与完备子空间是等价的.
A: 正确
B: 错误
答案: 错误
第四周列紧性与紧性
单元测验四
1、单选题：
在实数空间中，以下选项中不是完全有界集的有（ ）.
A: 
B: 
C: 
D: 
答案:
2、单选题：
在距离空间中，以下关于列紧集性质的描述，不正确的是（ ）.
A: 列紧集的闭包是列紧集
B: 列紧集的内部是列紧集
C: 列紧集的补集是列紧集
D: 列紧集中的柯西列一定收敛
答案: 列紧集的补集是列紧集
3、单选题：
在离散的距离空间中，以下选项中是列紧集的是（ ）.
A: 有界集
B: 单点集
C: 完全有界集
D: 可数点集
答案: 单点集
4、单选题：
在实数空间中，以下选项中是紧集的有（ ）.
A:
B:
C: