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起止时间:2020-03-13到2020-06-21
更新状态:已完结
第三周（第五章 多项式） 第3周测验
1、 下列关于整除的命题中，正确的是______。
A:若f(x)|g(x)+h(x)，则f(x)|g(x)或f(x)|h(x)
B:若f(x)|g(x)+h(x)，且f(x)|g(x)，则f(x)|h(x)
C:若f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|g(x)或f(x)|h(x)
D:若f(x)|g(x)h(x)，且f(x)不整除g(x)，则f(x)|h(x)
答案: 若f(x)|g(x)+h(x)，且f(x)|g(x)，则f(x)|h(x)
2、 若f(x)g(x)=f(x)h(x)，则g(x)=h(x)。
A:正确
B:错误
答案: 错误
分析：还需要添加条件f(x)是非零多项式。
3、
A:正确
B:错误
答案: 正确
分析：比较两边次数可得。
4、 设f(x)，g(x)是有理系数多项式，且在复数域上g(x)| f(x)，则在有理数域上，也必有g(x)| f(x)。
A:正确
B:错误
答案: 正确
5、
A:正确
B:错误
答案: 正确
分析：解析：若f(x)非零, 由g(x)|f(x)，得f(x)=g(x)h(x), h(x)也非零，其次数大于等于0，degf(x)=degg(x)+degh(x)≥degg(x)。
第四周（第五章 多项式） 第4周测验
1、 若g(x)|f(x)，则(f(x), g(x))= g(x)。
A:正确
B:错误
答案: 错误
分析：应为cg(x)，cg(x)首项系数为1。
2、 在F[x]中, (2, 6)=2。
A:正确
B:错误
答案: 错误
分析：应为1. 因(f(x), g(x))是f(x), g(x)首一的最大公因式。
3、 设f(x), g(x), u(x), v(x), d(x)是F上多项式，f(x)u(x)+g(x) v(x)=d(x)且d(x)首项系数为1，则(f(x), g(x))=d(x)。
A:正确
B:错误
答案: 错误
分析：必须再加上条件d(x)|f(x), 且d(x)|g(x)。
反例，f(x)=1, g(x)=x, u(x)=1, v(x)=1, d(x)=x+1=f(x)u(x)+g(x)v(x), 但(f(x), g(x))=1。
4、 设f(x), g(x)是数域F上多项式，且f(x), g(x)在F上互素，则f(x), g(x)在复数域上一定互素。
A:正确
B:错误
答案: 正确
分析：互素与数域扩大无关。
5、 若(f(x), g(x), h(x)) =1, 则f(x), g(x), h(x)两两互素。
A:正确
B:错误
答案: 错误
分析：反例f(x)=x(x-1), g(x)=(x-1)(x+1), h(x)=x(x+1), (f(x),g(x),h(x))=1, 但f(x), g(x), h(x)两两不互素。
第五周（第五章 多项式） 第5周测验
1、
A:正确
B:错误
答案: 正确
分析：按定义验证即可。详见教学视频。
2、
A:正确
B:错误
答案: 正确
分析：按定义验证即可。详见教学视频。
3、
A:正确
B:错误
答案: 正确
分析：若有重因式，则(f(x), f’(x))≠1。又f(x)不可约，它的非常数因式只能与自己相伴，所以f(x)|f’(x)，这是不可能的（因为f'(x)非零且次数小于f(x)的次数，次数高的多项式不可能整除非零的次数低于自己的多项式）
4、
A:正确
B:错误
答案: 正确
分析：用辗转相除法可以证明(f(x), f'(x))=1或者原式等于(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)。
5、
A:正确
B:错误
答案: 错误
分析：因为f(x)除以(f(x),f’(x))的商是一个与f(x)有完全相同的所有不可约因式且无重因式的多项式。
第六周（第五章 多项式） 第6周测验1
1、
A:正确
B:错误
答案: 正确
分析：由次数不超过4的多项式在5个不同点上函数值相等，两多项式必相等，即得结论。
2、
A:正确
B:错误
答案: 正确
分析：详见教学视频。
3、
A:正确
B:错误
答案: 错误
分析：应为-a_{n-1}/a_n。韦达定理描述的是首一多项式的系数和根的关系。
4、
A:正确
B:错误
答案: 正确
分析：因为实系数多项式的不可约因式至多是2次的
5、
A:正确
B:错误
答案: 正确
分析：实系数多项式的复根必成对出现。以1+2i为根的不可约实系数多项式为c((x-1)^2+4)，结合实系数多项式标准分解式即得。
第六周（第五章 多项式） 第6周测验2
1、 本原多项式和本原多项式之积必为本原多项式。
A:正确
B:错误
答案: 正确
分析：此即Gauss引理。
2、 任意非常数的有理系数多项式可以改写为一个有理数和一个本原多项式的乘积。
A:正确
B:错误
答案: 正确
分析：详见教学视频。
3、 整系数多项式在有理数域上可约等价于在整数上可约。
A:正确
B:错误
答案: 正确
分析：详见教学视频。
4、 任意首一的整系数多项式若有有理根，则必为整数根。
A:正确
B:错误
答案: 正确
分析：因为整系数多项式的任意有理根q/p，则p必是首项系数的因数。
5、
A:正确
B:错误
答案: 错误
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