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第一单元 距离空间的基本概念 单元测验（一）
1、 问题:如果一个非空集合上可定义一个距离，则以下说法正确的是（ ）.
选项：
A:距离是唯一的
B:可以定义有限个距离
C:可以无限多个距离
D:其它三项都不对
答案: 【可以无限多个距离】
2、 问题:在一个非空集合上( ) 可以定义距离.
选项：
A:一定
B:不一定
C:与集合的性质有关
D:其它三项都不对
答案: 【一定】
3、 问题:N维欧氏空间中点列的按距离收敛等价于（ ）.
选项：
A:逐点收敛
B:几乎处处收敛
C:按坐标收敛
D:一致收敛
答案: 【按坐标收敛】
4、 问题:连续函数空间中点列的按距离收敛等价于函数列的（ ）.
选项：
A:按坐标收敛
B:一致收敛
C:逐点收敛
D:几乎处处收敛
答案: 【一致收敛】
5、 问题:有界数列空间中点列的按距离收敛是（ ）.
选项：
A:按坐标收敛
B:一致收敛
C:逐点收敛
D:其余三项都不对
答案: 【其余三项都不对】
6、 问题:离散距离空间中点列的按距离收敛是（ ）.
选项：
A:按坐标收敛
B:一致收敛
C:逐点收敛
D:其余三项都不对
答案: 【其余三项都不对】
7、 问题:一个非空集合上的距离满足（ ）.
选项：
A:非负性
B:对称性
C:正齐次性
D:三角不等式
答案: 【非负性;
对称性;
三角不等式】
8、 问题:关于距离空间中点列的收敛性，以下说法正确的是（ ）.
选项：
A:收敛列的极限是唯一的
B:收敛列的极限一定属于该距离空间
C:有界列一定是收敛列
D:收敛列的子列一定收敛
答案: 【收敛列的极限是唯一的;
收敛列的极限一定属于该距离空间;
收敛列的子列一定收敛】
9、 问题:距离空间中的收敛点列满足（ ）.
选项：
A:其极限未必唯一
B:其极限是唯一的
C:其任一子列必收敛
D:存在不收敛的子列
答案: 【其极限是唯一的;
其任一子列必收敛】
10、 问题:设R是实数集，定义 d(x,y)=1+|x-y|,则d是R上的距离.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
11、 问题:任一非空集合上都可以定义距离，使之成为距离空间.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
12、 问题:设C[0,1]是[0,1]上的连续函数全体，定义
则d是C[0,1]上的一个距离.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
第二单元 距离拓扑与可分性 单元测验（二）
1、 问题:开集恰好由该集合的所有（ ）构成.
选项：
A:外点
B:内点
C:聚点
D:接触点
答案: 【内点】
2、 问题:闭集恰好由该集合的所有（ ）构成.
选项：
A:内点
B:外点
C:接触点
D:聚点
答案: 【接触点】
3、 问题:设 E 和 F 是距离空间中的点集，则以下关于“E在F中稠密”的表述，正确的是（ ）.
选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【
】
4、 问题:全体有理数在（ ）中是稠密的.
选项：
A:实数空间
B:连续函数空间
C:有界数列空间
D:离散的距离空间
答案: 【实数空间】
5、 问题:以下选项中，不可分的距离空间为（ ）.
选项：
A:实数空间
B:连续函数空间
C:离散的距离空间
D:有界数列空间
答案: 【有界数列空间】
6、 问题:距离空间中的非空开集一定包含一个（ ）.
选项：
A:内点
B:接触点
C:开球
D:闭球
答案: 【内点;
接触点;
开球;
闭球】
7、 问题:以下说法正确的是（ ）.
选项：
A:开球是开集
B:开集是开球
C:开球的补集是闭集
D:开球的补集是闭球
答案: 【开球是开集;
开球的补集是闭集】
8、 问题:在距离空间中，以下说法正确的是（ ）.
选项：
A:闭球的内部是闭集
B:开球的闭包是闭集
C:开球的内部是开集
D:开球的补集是闭集
答案: 【开球的闭包是闭集;
开球的内部是开集;
开球的补集是闭集】
9、 问题:关于内点与接触点，以下说法正确的是（ ）.
选项：
A:接触点一定是内点
B:内点一定是接触点
C:接触点可能是内点
D:内点未必是接触点
答案: 【内点一定是接触点;
接触点可能是内点】
10、 问题:在距离空间中，以下说法正确的是（ ）.
选项：
A:任意多个开集的交集是开集
B:任意多个开集的并集是开集
C:任意多个闭集的交集是闭集
D:任意多个闭集的并集是闭集
答案: 【任意多个开集的并集是开集;
任意多个闭集的交集是闭集】
11、 问题:在实数空间 R 中，令 Q 为有理数全体. 以下选项中，与 “Q 在 R 中稠密” 等价的是（ ）.
选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【
;
】
12、 问题:设 E 和 F 是距离空间中的点集，则以下关于“E在F中稠密”的表述，正确的是（ ）.
选项：
A:
B:
C:
D:
E:
F:
答案: 【
;
】
13、 问题:设 E 与 F 是距离空间中的点集. 以下命题中，相互等价的是（ ）.
选项：
A:E 在 F 中稠密
B:F 中每个点都是E的接触点
C:E 与 F 的交集可能是空集
D:F 中每个点都是 E 中某点列的极限
答案: 【E 在 F 中稠密;
F 中每个点都是E的接触点;
F 中每个点都是 E 中某点列的极限】
14、 问题:以下选项中，一定具有可分性的距离空间是（ ）.
选项：
A:实数空间
B:有理数空间
C:连续函数空间
D:离散的距离空间
答案: 【实数空间;
有理数空间;
连续函数空间】
15、 问题:在可分的距离空间中，必包含（ ）.
选项：
A:可数子集
B:不可数子集
C:稠密子集
D:有限子集
答案: 【可数子集;
稠密子集;
有限子集】
16、 问题:设T是从距离空间X到距离空间Y的映射，则以下命题中与“T是连续映射”等价的是（ ）.
选项：
A:X中任何开集的像是Y中的开集
B:Y中任何开集的原像是X中的开集
C:X中任何闭集的像是Y中的闭集
D:Y中任何闭集的原像是X中的闭集
答案: 【Y中任何开集的原像是X中的开集;
Y中任何闭集的原像是X中的闭集】
17、 问题:距离空间中的任一子集，其闭包未必是闭集.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
18、 问题:距离空间中的任一子集，其内部一定是开集.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
19、 问题:任意多个闭集的并集是闭集.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
20、 问题:任意有限个开集的交集是开集.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
21、 问题:离散距离空间上的任一子集既是开集又是闭集.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
22、 问题:非空开集一定是开球.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
23、 问题:在实数空间中，全体有理数在全体无理数中稠密.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
24、 问题:有界数列空间是可分的距离空间.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
25、 问题:[0,1]上的全体有理系数多项式在连续函数空间C[0,1]中是稠密的.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
26、 问题:在不可数集X上定义离散距离d，则距离空间（X,d）是不可分的.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
27、 问题:定义在离散距离空间上的任何映射都是连续的.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
28、 问题:有界数列空间的任何子空间都是不可分的.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
第三单元 完备的距离空间 单元测验（三）
1、 问题:以下关于距离空间中 ”柯西列与收敛列“ 的表述，正确的是（ ）.
选项：
A:柯西列一定是收敛列
B:有界列一定是柯西列
C:收敛列一定是柯西列
D:其他三项都不对
答案: 【收敛列一定是柯西列】
2、 问题:以下实数空间的距离子空间中，具有完备性的是（ ）.
选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【
】
3、 问题:设距离空间X是距离空间E的完备化空间，在等距同构的意义下，以下说法正确的是（ ）.
选项：
A:E是X的开子空间
B:E是X的闭子空间
C:E是X的稠子空间
D:E是X的真子空间
答案: 【E是X的稠子空间】
4、 问题:在距离空间中，压缩映射一定是（ ）.
选项：
A:单射
B:满射
C:等距映射
D:连续映射
答案: 【连续映射】
5、 问题:在完备的距离空间中，以下说法正确的是（ ）.
选项：
A:收敛列必为柯西列
B:柯西列必为收敛列
C:闭子集一定是完备的子空间
D:开子集一定不是完备的子空间
答案: 【收敛列必为柯西列;
柯西列必为收敛列;
闭子集一定是完备的子空间;
开子集一定不是完备的子空间】
6、 问题:在连续函数空间中，以下说法正确的是（ ）.
选项：
A:柯西列未必是收敛列
B:收敛列未必是柯西列
C:柯西列一定是收敛列
D:收敛列一定是柯西列
答案: 【柯西列一定是收敛列;
收敛列一定是柯西列】
7、 问题:在以下选项中，具有完备性的距离空间是（ ）.
选项：
A:实数空间
B:N维欧氏空间
C:连续函数空间
D:有界数列空间
E:离散的距离空间
答案: 【实数空间;
N维欧氏空间;
连续函数空间;
有界数列空间;
离散的距离空间】
8、 问题:以下实数空间的子空间中，不完备的是（ ）.
选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【
;
;
】
9、 问题:在距离空间中，等距映射一定是（ ）.
选项：
A:单射
B:满射
C:双射
D:连续映射
答案: 【单射;
连续映射】
10、 问题:设X是距离空间，T是X到X的映射. 压缩映射定理成立的条件是（ ）.
选项：
A:X是完备的
B:X是可分的
C:T是压缩映射
D:T是连续映射
答案: 【X是完备的;
T是压缩映射】
11、 问题:完备的距离空间一定是可分的.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
12、 问题:在全体有理数 Q 上定义离散距离d，则（Q,d）是不完备的距离空间.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
13、 问题:在等距同构的意义下，任何距离空间都存在唯一的完备化空间.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
14、 问题:在距离空间中，闭子空间与完备子空间是等价的.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
第四单元 列紧性与紧性 单元测验（四）
1、 问题:在实数空间中，以下选项中不是完全有界集的有（ ）.
选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【
】
2、 问题:在距离空间中，以下关于列紧集性质的描述，不正确的是（ ）.
选项：
A:列紧集的闭包是列紧集
B:列紧集的内部是列紧集
C:列紧集的补集是列紧集
D:列紧集中的柯西列一定收敛
答案: 【列紧集的补集是列紧集】
3、 问题:在离散的距离空间中，以下选项中是列紧集的是（ ）.
选项：
A:有界集
B:单点集
C:完全有界集
D:可数点集
答案: 【单点集】
4、 问题:在实数空间中，以下选项中是紧集的有（ ）.
选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【
】
5、 问题:设T是从距离空间X到距离空间Y的连续映射，A是X中的列紧集，则以下选项中不正确的是（ ）.
选项：
A:T(A)是列紧集
B:T(A)是有界集
C:T(A)是紧集
D:T(A)是完全有界集
答案: 【T(A)是紧集】
6、 问题:在实数空间中，以下选项中是列紧集的有（ ）.
选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【
;
;
】
7、 问题:在距离空间中，以下关于列紧集性质的描述，正确的是（ ）.
选项：
A:单点集是列紧集
B:有限点集是列紧集
C:可列点集未必是列紧集
D:不可列点集一定不是列紧集
答案: 【单点集是列紧集;
有限点集是列紧集;
可列点集未必是列紧集】
8、 问题:在距离空间中，以下关于列紧集性质的描述，正确的是（ ）.
选项：
A:有限个列紧集的并集是列紧集
B:有限个列紧集的(非空)交集是列紧集
C:可数个列紧集的并集是列紧集
D:可数个列紧集的(非空)交集是列紧集
答案: 【有限个列紧集的并集是列紧集;
有限个列紧集的(非空)交集是列紧集;
可数个列紧集的(非空)交集是列紧集】
9、 问题:在连续函数空间C[a,b]中，当子集A满足（ ）时，则A是列紧集.
选项：
A:一致有界
B:等度连续
C:一致连续
D:等度有界
答案: 【一致有界;
等度连续】
10、 问题:在距离空间中，以下关于“完全有界集的性质”的描述，正确的是（ ）.
选项：
A:完全有界集是有界集
B:完全有界集必可分
C:完全有界集的子集是完全有界集
D:有限个完全有界集的并集是完全有界集
答案: 【完全有界集是有界集;
完全有界集必可分;
完全有界集的子集是完全有界集;
有限个完全有界集的并集是完全有界集】
11、 问题:在实数空间中，完全有界集未必是有界集.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
12、 问题:在距离空间中，列紧集的非空子集一定是列紧集.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
13、 问题:完备的距离空间一定是列紧空间
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
14、 问题:在列紧的距离空间中，柯西列与收敛列是等价的.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
15、 问题:在离散的距离空间中，列紧集一定是紧集.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
16、 问题:在完备的距离空间中，完全有界集未必是列紧集.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
17、 问题:设A是距离空间X中的紧集，f是X到R的连续函数. 则f是有界的，并可取到上、下确界.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
18、 问题:在有界数列空间中，列紧集是完全有界集. 反之不成立.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
19、 问题:在距离空间中，列紧的闭集就是紧集.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
20、 问题:在连续函数空间中，列紧集的闭包是紧集.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
21、 问题:距离空间之间的连续映射，把紧集映成列紧集.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
第五单元 赋范空间的基本概念 单元测验（五）
1、 问题:以下关于线性空间中相关概念的叙述，不正确的是（ ）.
选项：
A:子空间一定是子集
B:子集A的线性包一定包含A
C:子空间E的线性包就是E
D:子集一定是子空间
答案: 【子集一定是子空间】
2、 问题:以下空间中，属于有限维赋范空间的是（ ）.
选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【
】
3、 问题:设A是线性空间X中，如果A中任何（ ）向量的线性组合都是线性无关的，则称A是线性无关的.
选项：
A:有限个
B:可数个
C:不可数个
D:两个
答案: 【有限个】
4、 问题:以下抽象空间中，既是距离空间，又是线性空间的是（ ）.
选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【
;
;
】
5、 问题:设M是线性空间X的子集，当M满足（ ）时，称M为X的Hamel基.
选项：
A:M中任何有限个向量的线性组合都线性无关
B:X中任一向量都可以表示成M中有限个向量的线性组合
C:M是X中的线性相关集
D:M的线性包是X的子集
答案: 【M中任何有限个向量的线性组合都线性无关;
X中任一向量都可以表示成M中有限个向量的线性组合】
6、 问题:设A、B是线性空间X的子空间，当它们满足（ ）时，X为A与B的直和.
选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【
;
】
7、 问题:设X是线性空间，X中的范数满足（ ）.
选项：
A:非负性
B:正齐次性
C:三角不等式
D:对称性
答案: 【非负性;
正齐次性;
三角不等式】
8、 问题:设X是赋范空间，d是由范数诱导的距离，则d满足（ ）.
选项：
A:对称性
B:三角不等式
C:相似性
D:平移不变性
答案: 【对称性
;
三角不等式
;
相似性
;
平移不变性
】
9、 问题:以下命题中，正确的是（ ）.
选项：
A:赋范空间一定是线性空间
B:赋范空间一定是距离空间
C:距离空间未必是赋范空间
D:距离空间未必是线性空间
答案: 【赋范空间一定是线性空间;
赋范空间一定是距离空间;
距离空间未必是赋范空间;
距离空间未必是线性空间】
10、 问题:设A是线性空间X的子集，则A的线性包是包含A的最小闭子空间.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
11、 问题:每个非零的线性空间都存在一个Hamel基.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
12、 问题:赋范子空间一定是距离子空间.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
13、 问题:赋范子空间一定是线性子空间.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
14、 问题:在赋范空间中，向量列的依范数收敛等价于向量列按范数诱导的距离收敛.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
15、 问题:距离空间未必是赋范空间.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
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