高等数学（五）(湖南科技大学) 中国大学慕课答案2024版100分完整版

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第一周 第一讲 对弧长的曲线积分的概念与计算

1、 设有点 和 ， 为线段 组成的闭曲线，则曲线积分 的值为 ( )．

A:
B:
C:1
D:0
答案:

2、 设 为曲线段 ，则 的值为( )．

A:
B:
C:
D:
答案:

3、 设半圆 形状的曲线在 处的密度为 ，则曲线关于 轴的转动惯量为( )．

A:
B:0
C:
D:1
答案:

4、 设 是圆周 在第一象限内的部分，则 的值为( )．

A:5
B:1
C:-1
D:-5
答案: 5

5、 设 为星形线 ，则 的值为 ( )．

A:
B:
C:
D:
答案:

6、 空间曲线 上从点 到点 的弧长为( )．

A:5
B:
C:
D:
答案: 5

7、 设 为圆周 ，则 的值为 ( )．

A:
B:
C:
D:
答案:

8、 设曲线 为球面 与平面 的交线，则 的值为 ( )．

A:
B:
C:
D:
答案:

9、 若被积函数 ，则 表示曲线 的弧长.

A:正确
B:错误
答案: 正确

10、

A:正确
B:错误
答案: 错误

11、 对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关.

A:正确
B:错误
答案: 正确

12、 若被积函数 ，则关于弧长的曲线积分 表示线密度为 的曲线型构件的质量.

A:正确
B:错误
答案: 正确

13、 如果曲线 的方程为 ，则 .

A:正确
B:错误
答案: 错误

14、 如果曲线 的方程为 ，则 .

A:正确
B:错误
答案: 正确

15、 设曲线 由 两段曲线组成，若函数 在曲线 上的积分存在，则有 .

A:正确
B:错误
答案: 正确

第一周 第二讲 对坐标的曲线积分的概念与计算

1、 设 为由 到 的直线段，则 ( )．

A:
B:
C:
D:
答案:

2、 设 为圆周 上对应 从0到 的一段弧，则  ( )．

A:0
B:
C:
D:1
答案: 0

3、   为圆周 (方向取逆时针)，则 ( )．

A:
B:
C:0
D:1
答案:

4、 设 为从点 到点 的直线段，则 （ ）．

A:13
B:12
C:0
D:10
答案: 13

5、 设 是由直线 所围成的按逆时针绕行的矩形回路，则  ( )．

A:-8
B:8
C:0
D:1
答案: -8

6、 设 为平面 内直线 上的一段，则 ( )．

A:0
B:-1
C:-2
D:2
答案: 0

7、 设 为 上从 到 的一段弧，则 ( )．

A:
B:
C:0
D:-1
答案:

8、 设C为依逆时针方向沿椭圆 一周的路径，则 =( )．

A:
B:
C:0
D:1
答案:

9、 设 为从点 到点 的一直线段，则 ( )．

A:11
B:
C:14
D:
答案: 11

10、 为先沿直线从点 到点 ,然后再沿直线到点 的折线，则 ( )．

A:
B:
C:
D:11
答案:

11、 曲线 上从点 到点 的一段弧，则 ( )．

A:
B:
C:11
D:14
答案:

12、 第二类型曲线积分与积分曲线的方向无关.

A:正确
B:错误
答案: 错误

13、 当改变积分曲线方向时，第二类型曲线积分将改变符号.

A:正确
B:错误
答案: 正确

14、 设 是有向曲线弧,  是与   方向相反的有向曲线弧，则 .

A:正确
B:错误
答案: 正确

15、 设 由 和 两段光滑曲线组成，则有 .

A:正确
B:错误
答案: 错误

16、 如果曲线 的方程为 起点对应 , 终点对应 ，则

A:正确
B:错误
答案: 正确

17、

A:正确
B:错误
答案: 错误

18、 在对坐标的曲线积分定义中，定义  ，其中 ，且式中极限与积分曲线的 分法和点 的取法无关.

A:正确
B:错误
答案: 正确

19、 设曲线 起点A对应的参数为 ，终点B对应的参数为 ，则 .

A:正确
B:错误
答案: 错误

20、 设曲线 为有向光滑曲线，则一定有 .

A:正确
B:错误
答案: 错误

21、 在将曲线积分化为定积分时，第一类曲线积分和第二类曲线积分对定积分上下限的要求是一致的.

A:正确
B:错误
答案: 错误

第一周 第三讲 格林公式

1、 设 为一条不过原点且不包含原点的光滑闭曲线，则 的值为（ ）．

A:0
B:
C:
D:
答案: 0

2、 设 为一条不过原点且包含原点在内的光滑闭曲线，则 的值为（ ）．

A:
B:0
C:
D:
答案:

3、 设L为圆周 上由 到 的一段弧，则 的值为（ ）．

A:
B:
C:0
D:2
答案:

4、 设 是单位圆 从点 到点 的上半圆周，则 的值为（ ）．

A:
B:
C:
D:
答案:

5、 使格林公式 成立的闭区域D（ ）．

A:为单连通或多连通区域
B:仅为单连通区域
C:仅为多连通区域
D:仅为简单区域
答案: 为单连通或多连通区域

6、 设 是圆周 ，方向为逆时针方向，则 用格林公式计算可化为（ ）．

A:
B:
C:
D:
答案:

7、 设 是圆周 ,方向取顺时针方向，则 的值为（ ）．

A:
B:
C:0
D:
答案:

8、 设 为圆周 上从 到 再到 的曲线段，则 的值为（ ）．

A:0
B:
C:
D:
答案: 0

9、 设闭区域 是由分段光滑的闭曲线 所围成, 函数 在 上有一阶连续偏导数，则 ．

A:正确
B:错误
答案: 正确

10、 设 为正向星形线 ，则由格林公式有 ．

A:正确
B:错误
答案: 正确

11、 设 是椭圆 的正向，则由格林公式可知 ．

A:正确
B:错误
答案: 错误

12、 若区域 内存在一条简单闭曲线，其所围的部分均在区域 内，则称 为平面单连通区域．

A:正确
B:错误
答案: 错误

13、 设D是由曲线 所围成的闭区域，函数 . 因为 ，所以由格林公式有 ．

A:正确
B:错误
答案: 错误

14、 设 为 平面的有界闭区域，其边界 为光滑或分段光滑曲线，则区域 的面积 .

A:正确
B:错误
答案: 错误

第二周 第四讲 积分与路径无关条件

1、 下列 平面上的力场中，为保守力场的是（ ）.

A:
B:
C:
D:
答案:

2、 设 是以 为起点、 为终点的曲线段, 则 等于（ ）.

A:
B:
C:
D:
答案:

3、 沿以 为起点、 为终点的路径所作的功可表示为（ ）.

A:
B:
C:
D:
答案:

4、 设 是从点 到点 的直线段，则 的值为（ ）.

A:
B:
C:
D:
答案:

5、 向量场 的势函数为（ ）.

A:
B:
C:
D:
答案:

6、 微分方程 的通解为（ ）.

A:
B:
C:
D:
答案:

7、 设 是上半圆周 上从点 到点 的圆弧，则曲线积分 的值为（ ）．

A:
B:
C:
D:
答案:

8、 若 为保守力场，则它沿场中任何一条封闭的光滑曲线所作的功均为零.

A:正确
B:错误
答案: 正确

9、 只要在区域 上有 成立，则向量场 必为区域 上的保守场.

A:正确
B:错误
答案: 错误

10、 曲线积分 的值只与起点和终点的位置有关，而与积分的路径无关.

A:正确
B:错误
答案: 正确

11、 方程 是全微分方程.

A:正确
B:错误
答案: 错误

12、 是整个平面区域上的保守向量场.

A:正确
B:错误
答案: 错误

13、 若函数 为 的原函数，则 .

A:正确
B:错误
答案: 正确

14、 设函数 ，其中积分路径是从 到 的某一条光滑曲线，则有 .

A:正确
B:错误
答案: 错误

第二周 第五讲 对面积的曲面积分的概念与计算

1、 设 为圆柱面 夹在平面 之间的部分,则曲面 面积为（ ）．

A:
B:
C:
D:
答案:

2、 设 是锥面 ，则 等于（ ）．

A:
B:
C:
D:
答案:

3、 设 为曲面 ，则 的值为（ ）.

A:
B:
C:
D:
答案:

4、 设 是曲面 ，则下列各式正确的是（ ）．

A:
B:
C:
D:
答案:

5、 设 为曲面 在 平面上方的部分,则 （ ）．

A:
B:
C:
D:
答案:

6、 设 为上半球面 ，则 （ ）．

A:
B:0
C:
D:
答案:

7、 设 为平面 在第一卦限部分，则 的值为（ ）．

A:
B:0
C:
D:
答案:

8、 若 存在一阶连续偏导数，则曲面 一定存在有限面积.

A:正确
B:错误
答案: 错误

9、 设函数 在光滑曲面 上连续，且 ，则 .

A:正确
B:错误
答案: 正确

10、 设函数 在光滑曲面 上连续， 为曲面 的面积，若存在常数   使得 ，则有 .

A:正确
B:错误
答案: 正确

11、 设 为 平面上的有界闭区域，函数 在 上连续，则二重积分 等于对面积的曲面积分 .

A:正确
B:错误
答案: 正确

12、 设 为球面 ， 为 在 面上的投影区域, 函数 在 上连续，则有 .

A:正确
B:错误
答案: 错误

13、 设 是球面 ，则曲面积分 .

A:正确
B:错误
答案: 错误

第二周 第六讲 对坐标的曲面积分的概念与计算

1、 设有曲面 ，其外法线与 正向夹角成锐角, 则 等于（ ）．

A:
B:
C:
D:
答案:

2、 设 为旋转抛物面 介于 和 之间部分的下侧，则 等于（ ）．

A:
B:
C:
D:
答案:

3、 设是 由平面 , , , 所围成的四面体的边界，外法线为其正向，则曲面积分 等于（ ）．

A:0
B:1
C:
D:
答案: 0

4、 设曲面 为球面 ，其法向指向外侧，则 等于（ ）．

A:
B:
C:
D:
答案:

5、 设 为曲面 ，其法向指向上侧，则对坐标的曲面积分 .

A:正确
B:错误
答案: 错误

6、 曲面积分 在数值上等于流速场 穿过曲面 的流量.

A:正确
B:错误
答案: 正确

7、 设 为球面 , 其法向量指向外侧，则 .

A:正确
B:错误
答案: 错误

8、 设 为球面 的外侧， 为球面 在 上的投影区域，则 .

A:正确
B:错误
答案: 错误

9、 如果光滑曲面 在 平面上的投影是一条曲线，函数 在 上连续，则 .

A:正确
B:错误
答案: 正确

第三周 第七讲 高斯公式

1、 设立方体 的内切球面的内侧为，则曲面积分 的值为（ ）.

A:
B:
C:0
D:
答案:

2、 设 为上半球面 的上侧，则曲面积分 的值为（ ）.

A:
B:
C:
D:
答案:

3、 流速场 穿过曲面 外侧的流量 等于（ ）.

A:0
B:
C:
D:
答案: 0

4、 设曲面 为 介于曲面 之间的部分，则流速为 的流体流过曲面 下侧的流量 等于（ ）.

A:
B:
C:
D:
答案:

5、 由分片光滑的封闭曲面 所围成的立体的体积 等于（ ）.

A:
B:
C:
D:
答案:

6、 设 是由柱面 及平面 所围成的立体表面的外侧, 则曲面积分 的值为（ ）.

A:
B:
C:0
D:
答案:

7、 设 是旋转抛物面 的外侧，则曲面积分 的值为（ ）.

A:
B:
C:
D:0
答案:

8、 设空间区域 由分片光滑的闭曲面 所围成，函数 在 上连续，且有一阶连续偏导数，则有 = 其中 为曲面 的外侧法向量的方向余弦.

A:正确
B:错误
答案: 正确

9、 设 是光滑闭曲面 的外法向量的方向余弦， 所围成的空间闭区域为 ，则有 成立.

A:正确
B:错误
答案: 错误

10、 只要 是光滑的闭曲面，就一定有 .

A:正确
B:错误
答案: 正确

11、 设 为球面 的外侧，则 .

A:正确
B:错误
答案: 错误

12、 设空间区域 由分片光滑的闭曲面 所围成， 的方向取内侧，函数 在 上连续，且有一阶连续偏导数，则有 =

A:正确
B:错误
答案: 正确

13、 流速场 通过上半球面 上侧的流量 .

A:正确
B:错误
答案: 错误

14、 向量场 的散度为 .

A:正确
B:错误
答案: 正确

第三周 第八讲 斯托克司公式

1、 设 , 则  （ ）．

A:
B:
C:0
D:
答案:

2、 设向量场 ，则 （ ）．

A:
B:
C:0
D:
答案:

3、 为圆周 ，若从 轴正向看去， 为逆时针方向， （ ）．

A:
B:
C:1
D:0
答案:

4、 , 为上半球面 的上侧,  是 的外单位法向量，曲面积分 （ ）．

A:0
B:
C:4
D:1
答案: 0

5、 为平面 与三个坐标面的交线，从 轴正向看去 为逆时针方向，则  （ ）．

A:-2
B:2
C:1
D:-1
答案: -2

6、 设 是从点 到点 再到 最后回到 的三角形边界( ),则 （ ）．

A:
B:
C:
D:
答案:

7、 设 为圆周 ,若从 轴正向看去,  为逆时针方向.则 （ ）．

A:
B:
C:
D:0
答案:

8、 为圆周 ,若从 轴正向看去， 为逆时针方向， （ ）．

A:
B:
C:1
D:0
答案:

9、 1、利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式可写成如下形式：  .

A:正确
B:错误
答案: 正确

10、 设 是平面 截立方体 的表面所得的截痕，且从 轴的正向看去为逆时针方向，则曲线积分 .

A:正确
B:错误
答案: 错误

11、 向量场 在点 处的旋度 .

A:正确
B:错误
答案: 错误

12、 设一刚体以等角速度 绕定轴 旋转，刚体内任意一点 的线速度 的旋度 .

A:正确
B:错误
答案: 正确

第三周 第九讲 向量场的微积分基本定理

1、 函数 的梯度为（ ）．

A:
B:
C:
D:
答案:

2、 设 ，则 在点 处的旋度为（ ）．

A:
B:
C:
D:
答案:

3、 设 是三坐标面与平面 （ 均为正常数）所围的封闭曲面的外侧，则积分 的值为（ ）．

A:
B:
C:
D:
答案:

4、 设 为曲面 介于平面 之间的部分，则流速为 的流体流过曲面 下侧的流量为（ ）．

A:
B:
C:
D:
答案:

5、 设曲线 是柱面 与平面 的交线，从 轴的正向往 轴的负向看去为逆时针方向，则曲线积分 等于（ ）．

A:
B:
C:
D:
答案:

6、 设 是锥面 在 中部分的外侧，则曲面积分 的值等于（ ）．

A:
B:
C:
D:
答案:

7、 设 为曲面 被平面 截下的部分，其法向量与 轴正向的夹角为钝角，则曲面积分 的值为（ ）．

A:
B:
C:
D:
答案:

8、 向量场 的散度为（ ）．

A:
B:
C:1
D:0
答案:

9、 设 是平面 上抛物线 绕 轴旋转得到的旋转曲面和平面 所围封闭曲面的外侧，则曲面积分 的值为（ ）．

A:
B:
C:
D:
答案:

10、 设曲面 的方程为 ，则 等于（ ）．

A:
B:
C:
D:0
答案:

11、 设 为光滑的闭曲面，则 .

A:正确
B:错误
答案: 正确

12、 向量场 在点 处的旋度 .

A:正确
B:错误
答案: 错误

13、 设D为曲线 所围成的闭区域，由于 ，故 .

A:正确
B:错误
答案: 错误

14、 若 的分量函数存在二阶偏导数，则向量场 的旋度的散度恒为零.

A:正确
B:错误
答案: 正确

15、 设 是三坐标面与平面 （ 均为正常数）所围的封闭曲面的外侧，则积分 .

A:正确
B:错误
答案: 错误

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